By John David Anderson

The Beginner's consultant to Computational Fluid Dynamics From aerospace layout to functions in civil, mechanical, and chemical engineering, computational fluid dynamics (CFD) is as crucial because it is complicated. the main available advent of its variety, Computational Fluid Dynamics: the fundamentals With functions, through skilled aerospace engineer John D. Anderson, Jr., can provide an intensive grounding in: the governing equations of fluid dynamics--their derivation, actual that means, and such a lot proper kinds; numerical discretization of the governing equations--including grids with acceptable modifications and renowned innovations for fixing circulation difficulties; universal CFD laptop photograph techiniques; purposes of CFD to four vintage fluid dynamics problems--quasi-one-dimensional nozzle flows, two-dimensional supersonic stream, incompressible couette movement, and supersonic movement over a flat plate; state of the art algorithms and functions in CFD--from the Beam and Warming option to Second-Order Upwind Schemes and past.

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Le componenti radiale e trasversa di tale forza sono evidentemente mφ(r)r e 0 rispettivamente, quindi le equazioni del moto saranno: r¨ − rθ˙2 = φ(r)r d ˙ (r2 θ) dt =0 dove r e θ sono le coordinate polari nel piano dell’orbita. La seconda di tali equazioni ha come integrale r2 θ˙ = h dove h `e una costante. Questo ci ricorda che la velocit`a areolare `e costante. Sostituendo θ˙ nella prima delle due equazioni del moto, abbiamo dr˙ −r dt h2 r4 = φ(r)r dr˙ dr h2 − 3 = φ(r)r dr dt r 48 CAPITOLO 3.

Nota: anche in questo caso, assumeremo unitaria la massa della particella e ricaveremo, quindi, l’accelerazione. Dividiamo il guscio in anelli elementari come quello mostrato in figura. Per ricondurci al caso precedente ci baster`a calcolare le grandezze necessarie. Il raggio dell’anello risulta a sin θ, il suo spessore adθ e, dunque, la sua massa σ(adθ)(2πa sin θ). Il centro di tale anello si trova a distanza r − a cos θ dalla particella. 5. LA LEGGE DI GRAVITAZIONE DI NEWTON 23 Facciamo ora le seguente sostituzione: u2 = (r − a cos θ)2 + (a sin θ)2 = r2 − 2ar cos θ + a2 derivando rispetto a θ abbiamo che 2u du = 2ar sin θ dθ da cui otteniamo la forma differenziale u du = ar sin θ dθ Riprendiamo ora la definizione di u e aggiungiamo r2 ad ambo i membri: u2 + r2 = 2r2 − 2ar cos θ + a2 da cui, portando a2 a primo membro e dividendo per 2r, otteniamo: u2 + r2 − a2 2r r − a cos θ = Siamo quindi in grado di determinare l’attrazione in funzione di u: γ 2πσa(a sin θdθ)(r − a cos θ) = γ2πσa [(r − a cos θ)2 + (a sin θ)2 ]3/2 udu r u 2 + r 2 − a2 2r 1 u3 Quindi l’attrazione sar`a γσπa r2 1+ r 2 − a2 u2 du Abbiamo ora due casi: r > a, per cui u va da r − a a r + a, oppure r < a, per cui u va da a − r a a + r.

Avremo quindi che, se la particella rimane ferma, tan θ ≤ µ o anche θ≤λ dove λ = arctan µ. Dato che nella posizione limite si ha che µ = FR , `e chiaro che λ rappresenta l’angolo tra la reazione normale alla superficie e la direzione della forza di attrito risultante, nella posizione limite. Per tale motivo λ si chiama angolo limite o angolo di attrito. Se il piano viene inclinato di un angolo θ maggiore dell’angolo limite λ l’attrito non sar`a pi` u sufficiente a impedire alla particella di scivolare, ma ha 36 CAPITOLO 2.

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